Question

问题1：求三维空间至多被n个平面分割的区域数F（n）．
问题2：求一个平面至多被n条直线分割的区域数G（n）．
问题3：求一直线至多被n个点分成的段数S（n）．

Answer 1

分析：把n=1，2 3，4的情况整理成表，于是归纳出一般的结论：G（n）=G（n-1）+S（n-1），F（n）=F（n-1）+
G（n-1），再由 G(n)=

n2+n+2

2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

，可得F(n)=F(1)+

n-1

i=1

C

i 0

+

n-1

i=1

C

i 1

+

n-1

i-2

C

i 2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

（n≥），还可进一步归纳出更一般的结论：m维空间最多能被n个m-1维平面分割的区域数为

E

(n) m

=

C

0 n

+

C

1 n

+…

C

m n

．

解答：解：先考虑特殊情况：F（1）=2，F（2）=4，F（3）=8，但凭借几何直观难以想象n=4的情况，
于是转向考虑平面上类似问题．
先考虑特殊情况：G（1）=2，G（2）=4，G（3）=7，G（4）=11，但是随着直线数目的增多，情况越来越复杂，
不能立即得出G（n）的一般表达式．于是，通过类比进一步考虑更简单的问题，一直线至多被n个点分成的段数
S（n）．显然，这个问题易解决．S（1）=2，S（2）=3，…，S（n）=n+1．
将以上讨论的结果整理成下表：

分割元素的数目n	被割出的数目
	空间被平面F（n）	平面被直线G（n）	直线被点S（n）
1	2	2	2
2	4	4	3
3	8	7	4
4	？	11	5
…	？	？	…
n	？	？	n+1

观察上表，发现G（n）和S（n）列中两列数之和，等于G（n）的下一列中的数字；F（n）和G（n）列中的并列两数
之和等于F（n）的下一行中的数字，于是归纳出一般的结论：G（n）=G（n-1）+S（n-1），
F（n）=F（n-1）+G（n-1）．
这个结论是否正确？如果正确，又应怎样进行证明呢？
再从特殊情况进行分析：三条直线分成七个部分，第四条直线l与前三条直线均相交，三个交点为A₁，A₂，A₃．
直线l所穿过的区域均被l分为两部分，于是增加的区域数就等于直线l穿过的区域数S（3），
而直线l穿过的区域数等于l被点A₁，A₂，A₃分成的段数S（3），于是，G（4）=G（3）+S（3）．
对n=4的分析，可以一字不差地适用于一般情况 G（n）=G（n-1）+S（n-1）的证明．
这样，G（n）=G（n-1）+n，故 G(n)=

n2+n+2

2

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

．
关于平面G（n）的表达式的推导也可以类比到三维空间，于是，F（n）=F（n-1）+G（n-1），F(n)=F(1)+

n-1

i=1

C

0 i

+

n-1

i=1

C

1 i

+

n-1

i-2

C

2 i

=2+(n-1)+

C

2 n

+

C

3 n

=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

（n≥3），
这样，刚开始提出的三个问题均得到圆满的解决．
当然，如果把S（n）=n+1记为S(n)=

C

0 n

+

C

1 n

，那么，由S（n），G（n）、F（n）的表达式可以
归纳出更一般的结论：
m维空间最多能被n个m-1维平面分割的区域数，

E

(n) m

=

C

0 n

+

C

1 n

+…

C

m n

．

点评：本题主要考查的知识点是归纳推理，由特殊的例子得到一般性的结论，属于中档题．本题较抽象，不易下手，易因为无法下手而导致解题失败