Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数f（x）=2^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，求使

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

+＜

10

21

成立的n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得S_n=2ⁿ，由项与前n项的关系a_n=

s1             n=1 sn-sn-1 n≥2

得数列{a_n}的通项公式；
（2）由数列{a_n}的通项公式得b_n的表达式，把数列{b_n}中的每项都裂成两部分，也就是差的形式，各项相加，可消项，最后只留两项，代入不等式可求n的范围，又n是正整数，可得n的最大值．

解答：解：（1）由题意得S_n=2ⁿ，则S_n-1=2^n-1（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
又a₁=S₁=2，∴a_n=

2      n=1 2n-1  n≥2

（2）∵b_n=log₂a_n=

1     n=1 n-1  n≥2

∴

1

b2nb2n+2

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∴

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

10

21

得n＜10
∴使

1

b2b4

+

1

b4b6

+

1

b6b8

+…+

1

b2nb2n+2

＜

10

21

成立的n的最大值为9．

点评：用到项与前n项和之间的关系，注意n=1的时候；用裂项法求和时，注意项的形式，分子上是一个常数，分母上可分解成两个关于n的一次式相乘．