Question

已知函数f（x）=2x³-3x²-mx+n（m，n∈R），若函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在区间[-a，a]（a＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=6x²-6x-m，函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，知

f(0)=0 f′(0)=-2

，由此能求出m，n的值．
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²-12x，f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），由此能求出f（x）的极大值为f（-1）=7，由f（a）=f（-1）=7，得a=

7

2

，结合f（x）的图象能求出函数f（x）在区间[-a，a]（a＞0）上的最大值．

解答：解：（1）由题意知，f′（x）=6x²-6x-m，（1分）
∵函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，
∴

f(0)=0 f′(0)=-2

，（2分）
即

n=0 -m=-12

，得

m=12 n=0

，（3分）
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²-12x，
f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞2，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-1）内单调递增，在（-1，2）内单调递减，在（2，+∞）内单调递增，（5分）
∴f（x）的极大值为f（-1）=7，
由f（a）=f（-1）=7，
得2a³-3a²-12a=7，2a³-3a²-12a-7=0，
∴（a+1）（2a²-5a-7）=0，∵a＞0，
∴a=

7

2

，（7分）
结合f（x）的图象可得：
①当0＜a≤1时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（-a）=-2a³-3a²+12a，
②当1＜a＜

7

2

时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（-1）=7，
③当a≥

7

2

时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（a）=2a³-3a²-12a．（10分）

点评：本题考查函数最大值的求法，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用．