Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求m的值；
（2）当m=-2时，讨论函数f（x）+x的单调性；
（3）在（2）的条件下，求证，对任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（1）由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出m；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，判断g′（x）的符号，进而得到f（x）+x的单调区间；
（3）当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即证明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即证f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
故我们可由（2）函数g（x）=f（x）+x的单调性，来证明结论．

解答：解：（1）∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′（2）=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（2）当m=-2时，函数f（x）=

1

2

x²+2lnx-3x（x＞0）．
令函数g（x）=f（x）+x，则
g′（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在（0，+∞）为增函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）

点评：本题考查导数的综合应用，函数单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．