Question

    已知函数，函数．

    ( I)试求f (x)的单调区间。

    (II)若f (x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：

    (ⅡI)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，

    求证：当时，.

Answer 1

解：（Ⅰ）=，所以，,

因为，，所以，令，，

所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；………4分

（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立

即，因为，所以.                …………….7分

（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1++…+，

当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，

=-1，当时，，所以+，即

所以;

令，则有，当，有

则,即,所以时,

所以不等式成立.

令且时，

将所得各不等式相加，得

即

（且）．