Question

【题目】已知椭圆：（）的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为.

（Ⅰ）求椭圆的的标准方程；

（Ⅱ）已知过点的直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题（1）由椭圆的离心率为，且过点，列方程组，求解，即可；

（2）依题意，直线过点，①当直线的斜率不为0时，可设其方程为，联立消去得，由韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线的斜率的取值范围，②当直线的斜率为0时，线段的中点与坐标原点重合，的斜率为0.

试题解析：

（Ⅰ）依题意，，，，

解得，，，

故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）依题意，直线过点.①当直线的斜率不为0时，可设其方程为，

联立消去得，

设点，，，直线的斜率为，

故，，

当时，，

当时，，因为 ，故，

当且仅当，即时等号成立.

故，故且.

②当直线的斜率为0时，线段的中点与坐标原点重合，的斜率为0.

综上所述，直线的斜率的取值范围为.