Question

已知f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为

3

2

，求此时a的值．

Answer 1

分析：（1）由函数奇偶性的定义判定f（x）是R上的奇函数；
（2）a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；由函数的导数大于0，函数增，导数小于0，函数减证明即可；
（3）根据a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，最大值f（2）=

3

2

，求出a；0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，∴最大值f（1）=

3

2

，求出a即可．

解答：解：（1）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，
∴任取x∈R，都有f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数；
（2）a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；
证明如下：∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，
∴f′（x）=a^xlna-a^-xlna•（-1）=

a2x+1

ax

•lna；
当a＞1时，a^x＞0，lna＞0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上，a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；
（3）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为

3

2

，若a＞1，则f（x）是增函数，∴f（2）=a²-a^-2=

3

2

，解得a=

2

；
0＜a＜1时，f（x）是减函数，∴f（1）=a-a^-1=

3

2

，解得a=2或a=-

1

2

，不满足条件，舍去；
综上，a的值为

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性以及函数在闭区间上的最值问题，是易错的中档题．