Question

已知直线（2lna）x+by+1=0与曲线x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B两点，当|AB|=2时，点P（a，b）到直线2x-y+4=0距离的最小值等于______．

Answer 1

∵曲线x²+y²-2x+2y+1=0，
∴曲线（x-1）²+（y+1）²=1是圆心坐标为（1，-1），半径为1的圆，
∵直线（2lna）x+by+1=0与曲线x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B两点，|AB|=2，
∴直线（2lna）x+by+1=0过圆心（1，-1），
∴2lna-b+1=0．
∴b=1+2lna，
P（a，b）到直线2x-y+4=0距离
d=

|2a-b+4|

5

=

|2a+3-2lna|

5

，
设f（a）=2a+3-2lna，
f′（a）=2-

2

a

，
令f′（a）=0，得a=1．
∴

1

2

＜a＜1，f′（a）＜0，f（a）递减，a＞1，f′（a）＞0，f（a）递增，
∴f（a）_min=f（1）=5，
∴d_min=

5

5

=

5

，
∴a=1时，P（a，b）到直线2x-y+4=0距离最小值为

5

．
故答案为：

5

．