Question

设命题p：关于x的不等式2^|x-2|＜a的解集为∅；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的值域是R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的单调性，解不等式2^|x-2|＜a，我们可以求出使命题P为真时，参数a的取值范围，根据对数函数的定义域及二次函数性质的充要条件，我们易求出命题q为真时，参数a的取值范围，进而根据P和Q有且仅有一个正确，分P真Q假或者P假Q真两种情况讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：由不等式2^|x-2|＜a的解集为∅，得a≤1．…（3分）
由函数y=lg（ax²-x+a）的值域是R知ax²-x+a要取到所有正数．…（4分）
故

a＞0 △=1-4a2≥0

⇒0＜a≤

1

2

…（8分）或a=0，即0≤a≤

1

2

（10分）
由命题p和q有且仅有一个正确，
ⅰ：若P真Q假，则a＜0或

1

2

＜a≤1；
ⅱ：若P假Q真，则a∈∅．
得a的取值范围是(-∞，0)∪(

1

2

，1]…（12分）．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据解指数形式，求出命题P为真时，参数a的取值范围，根据对数函数的定义域及二次函数的性质求出命题Q为真时，参数a的取值范围，是解答本题的关键．