Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，an-an-1=

1

n(n-1)

（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由递推公式可得an-an-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），由此可得a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，a4-a3=

1

3

-

1

4

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，把各式加起来即可求得a_n，注意验证n=1时情况》

解答：解：因为an-an-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
所以a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，a4-a3=

1

3

-

1

4

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，
把以上各式加起来，得a_n-a₁=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

（n≥2），
所以a_n=2-

1

n

（n≥2），
当n=1时，a₁=1适合上式，
所以a_n=2-

1

n

（n∈N^*）．

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项公式，已知形如a_n+1-a_n=f（n）求a_n，常用累加法解决．