Question

设{a_n}是集合{2^t＋2^s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…．

(1)将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

注：本题考查归纳猜想的能力．

①写出这个三角形数表的第四行，第五行各数；

②求a₁₀₀．

(2)设{b_n}是集合{2^t＋2^s＋2^r|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b_k＝1160，求k．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①解：第四行17　18　20　24　 　　第五行　33　34　36　40　48 　　②解法一：设a100＝2t0＋2s0．只需确定正整数t0，s0． 　　数列{an}中小于2t0的项构成的子集为{2t＋2s|0≤s＜t＜t0}． 　　其元素个数为C2t0＝． 　　依题意＜100， 　　满足上式的最大整数t0为14，所以取t0＝14． 　　因为100－C214＝s0＋1，由此解得s0＝8． 　　所以a100＝214＋28＝16640． 　　解法二：n为an的下标，三角形数表第一行第一个元素下标为1， 　　第二行第一个元素下标为＋1＝2， 　　第三行第一个元素下标为＋1＝4， 　　…… 　　第t行第一个元素下标为＋1，第t行第s个元素下标为＋s，该元素等于2t＋2s－1． 　　据此判断a100所在的行，因为＜100≤，所以a100是三角形数表第14行的第9个元素，a100＝214＋29－1＝16640． 　　(2)解：bk＝1160＝210＋2＋＋23， 　　令M＝{c∈B|c＜1160}(其中B＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t})， 　　因M＝{c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210＋27}∪{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}． 　　现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C310； 　　{c∈B|210＜c＜210＋27}＝{210＋2s＋2r|0≤r＜s＜7}． 　　其元素个数为C27； 　　{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}＝{210＋27＋2r|0≤r＜3}； 　　其元素个数为C13； 　　∴k＝＋＋＋1＝145．