Question

【题目】设函数．

（1）求证：不论为何实数总为增函数；

（2）确定的值，使为奇函数；

（3）在（2）的条件下求的值域．

Answer 1

【答案】(1) 见解析； (2)

（3）为奇函数时，其值域为

【解析】

（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；

（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x）恒成立，从而求得a值即可．

（3）由（2）知，利用指数函数y=2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．

(1)的定义域为R, 设，且,

则=,

,,

即,所以不论为何实数总为增函数．……………………5分

(2)为奇函数,,即,

整理得，

则，解得:

……………………10分

（4）由(2)知,

,,

故当为奇函数时，其值域为……………………14分

另解：由(2)知.

由，得，

当时，得，矛盾，所以；

故有.

当时，，所以，解得.

故当为奇函数时，其值域为………………14分