Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项的和为S_n，数列{an2}的前n项的和为T_n，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用(Sn-2)2+3Tn=4，再写一式两式相减，化简可得2S_n+1-S_n=2，再写一式，两式相减，即可证明数列{a_n}是等比数列，从而可得通项公式；
（2）先求和，再分离参数，确定函数的范围，即可求得λ的最小值．

解答：（1）证明：因为(Sn-2)2+3Tn=4，其中S_n是数列{a_n}的前n项和，T_n是数列{

a

2 n

}的前n项和，且a_n＞0，
所以，当n=1时，由(a1-2)2+3a12=4，解得a₁=1，…（2分）
当n=2时，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，解得a2=

1

2

； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3

a

2 n+1

=0，即(Sn+1+Sn-4)+3

a

n+1

=0，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，从而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相减得an+1=

1

2

an，(n≥2)，又a2=

1

2

a1，所以

an+1

an

=

1

2

，(n≥1)
所以数列{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，…（7分）
其通项公式为an=

1

2n-1

，n∈N^*．…（8分）
（2）解：由（1）可得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，只需λ＞

Sn2

Tn

=3

1-( 1 2 )n

1+( 1 2 )n

=3-

6

2n+1

对n∈N^*恒成立，
因为3-

6

2n+1

＜3对n∈N^*恒成立，所以λ≥3，即λ的最小值为3；

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求通项是关键．