题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位长度，再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到的，若角A为三角形的最小内角，求g（A）的取值范围．

解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x=1+sin2x-2× $\text{[math]}$ =1+sin2x-1-cos2x
=sin2x-cos2x= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），
故函数的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
（2）把y=f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度所得图象对应的函数解析式为y= $\text{[math]}$ sin[2（x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），
再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数y= $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）的图象，
故由题意可得g（x）= $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ），故g（A）= $\text{[math]}$ sin（A- $\text{[math]}$ ）．
若角A为三角形的最小内角，则有0＜A≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ＜A- $\text{[math]}$ ≤0，- $\text{[math]}$ ＜sin（A- $\text{[math]}$ ）≤0，
故- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ sin（A- $\text{[math]}$ ）≤0，
故g（A）的取值范围为（- $\text{[math]}$ ，0]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得函数的最小正周期．
（2）把y=f（x）的图象经过两次变换后得到所得图象对应的函数解析式为g（x）= $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ），故g（A）= $\text{[math]}$ sin（A- $\text{[math]}$ ），再根据0＜A≤ $\text{[math]}$ ，求出g（A）的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性与求法，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．