Question

已知函数f(x)=

2x-1

(x+1)2

，g（x）=xe^ax-1（a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718）．
（1）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，然后判定函数在区间[0，3]上的单调性，从而求出函数的最值，即可求得函数的值域；
（2）设函数g（x）在区间[0，3]上的值域为N，可转化成若对于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），即[-1，

1

3

]⊆N，从而讨论a的正负，以及与-

1

3

进行比较，利用导数研究函数g（x）的值域即可．

解答：解：（1）由已知，x≠-1，f′(x)=

-2x+4

(x+1)3

，…（2分）
在区间（-1，2）上，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数，
在区间（2，+∞）上，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，
所以，在区间[0，3]上，函数f（x）的最大值为f(2)=

1

3

，
又f（0）=-1，f(3)=

5

16

，所以f（x）的最小值为f（0）=-1．
所以f（x）在区间[0，3]上的值域为[-1，

1

3

]．
（2）设函数g（x）在区间[0，3]上的值域为N，根据题意，
若对于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），即[-1，

1

3

]⊆N．
①当a=0时，g（x）=x-1，在区间[0，3]上的值域N=[-1，2]，符合题意；
由已知g'（x）=（ax+1）e^ax，
②当a＞0时，在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，
即N=[-1，3e^3a-1]，因为3e^3a＞3，3e^3a-1＞2所以符合题意；
③当-

1

3

＜a＜0时，-

1

a

＞3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，在区间[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，即N=[-1，3e^3a-1]，
因为-

1

3

＜a＜0，所以-1＜3a＜0，

3

e

-1＜3e3a-1＜2，
比较

3

e

-1与

1

3

，即比较e与

9

4

，因为e≈2.718，所以e＞

9

4

，所以

3

e

-1＜

1

3

．
所以，根据题意，需3e3a-1≥

1

3

，解得a≥

2

3

ln

2

3

．所以

2

3

ln

2

3

≤a＜0；…（10分）
④当a≤-

1

3

时，0＜-

1

a

≤3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＜0，g（x）为减函数，在区间[0，3]上的最大值为g(-

1

a

)=-

1

ae

-1，
以下比较-

1

ae

-1与

1

3

，由于0＜-

1

a

≤3，所以-

1

ae

-1≤

3

e

-1＜

1

3

，不符合题意．…（12分）
综上，实数a的取值范围为[

2

3

ln

2

3

 ， +∞)．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．