Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最小值为2．
（1）求的a值，并求f（x）单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，再把所得图象向右平移

π

12

个单位，得到函数g（x），求方程g（x）=2在区间[0，

π

2

]上的所有根之和．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得，当2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）取得最小值为2sin

π

6

+a+1=2，求得a的值，可得 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数g（x）=2sin（4x-

π

6

）+1．由方程g（x）=2，可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x的值，可得方程在区间[0，

π

2

]上的所有根之和．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且当x∈[0，

π

6

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，故当2x+

π

6

=

π

6

时，
f（x）取得最小值为2sin

π

6

+a+1=2，求得a=0，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）将函数f（x）图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，可得函数y=2sin（4x+

π

6

）+1 的图象；
再把所得图象向右平移

π

12

个单位，得到函数g（x）=2sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin（4x-

π

6

）+1的图象．
方程g（x）=2，即sin（4x-

π

6

）=

1

2

，在区间[0，

π

2

]上，4x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]．
故由方程可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x=0，或x=

π

4

，
故方程在区间[0，

π

2

]上的所有根之和为

π

4

．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．