Question

如图所示在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：B₁C⊥平面ABC₁D₁；
（3）设四棱锥B₁-ABC₁D₁的体积为V₁，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V₂，求

V1

V2

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得EF∥BD₁，由此能证明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）由已知得B₁C⊥BC₁，B₁C⊥D₁C₁，由此能证明B₁C⊥平面ABC₁D₁．
（3）由V₁=

1

3

×

1

2

V2=

1

6

V2，能求出

V1

V2

=

1

6

．

解答： （1）证明：∵E、F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF∥BD₁，
∵EF不包含于平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）证明：∵BCC₁D₁是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C⊥D₁C₁，
又D₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁．
（3）解：∵四棱锥B₁-ABC₁D₁的体积为V₁，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V₂，
∴V₁=

1

3

×

1

2

V2=

1

6

V2，
∴

V1

V2

=

1

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．