Question

(08年龙岩一中模拟)（14分）

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在单调递减区间，求的取值范围；

(Ⅲ)当时，设函数的图象与函数的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，则是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：（I）解：当时，

则，

的定义域为，令＝0 ，得                    ……… 2分

当时，，在上是单调递增；

当时，，在上是单调递减；

所以，函数的单调递增区间为；

单调递减区间为.                                 …………………………  4分

（II）b=2时，

则

因为函数存在单调递减区间，所以＜0有解.

即当x＞0时，则.          ………………………… 5分

①当a＝0时，为单调递增的一次函数，＞0在（0，+∞）总有解.

②当a＞0时，为开口向上的抛物线，＞0在（0，+∞）总有解.

③当a＜0时,为开口向下的抛物线,而＞0在（0，+∞）总有解.

则△=4+4a＞0，且方程=0至少有一个正根，此时，－1＜a＜0

综上所述，a的取值范围为（－1，+∞）                   ………………………… 9分

（III）证：设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为

C₁点在M处的切线斜率为

C₂点N处的切线斜率为            ……………… 10分

假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂

即则

 

 .

设，则①                    …………………………  12分

令则

因为t>1时，，所以r(t)在上单调递增.故

则.这与①矛盾，假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.    ………………………… 14分