Question

已知函数F(x)=-｜x-1｜,

（1）判断函数F(x)在区间（0，1）上的单调性，并证明你的结论；

（2）求函数F(x)的最小值；

（3）当0＜x₁＜x₂＜1时，证明F()＜.

Answer 1

(1)解:f(x)在区间(0，1)上是减函数.证明如下：?

当0＜x＜1时,f(x)=+x-1.?

∵f′(x)=(+x-1)′=1-=＜0,?

∴f(x)在区间(0，1)上是减函数.                                                                        ?

(2)解:∵f(x)在(0,1］上是减函数，∴当x∈(0,1］时，f(x)≥f(1)=1.?

又∵x＞1时，lnx＞0,x-1＞0,?

∴f(x)=E^lnx-(x-1)=x-(x-1)=1.?

∴x∈(0,+∞)时,f(x)≥1,?

即函数f(x)的最小值为1，当且仅当x≥1时取得.                                               ?

(3)证明:∵当0＜x＜1时,f(x)=+x-1,?

∴当0＜x₁＜x₂＜1时,0＜＜1.?

∴f()=+-1=+-1,?

==-1+＜-1+

=+-1,?

∴＜f().