Question

若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…是公差不为零的等差数列，且a_n＞0，则下列四个数列
①lga₁，lga₂，…，lga_n，…；
②2a1，2a2，…，2an，…；
③a₁a₂，a₂a₃，…，a_na_n+1，…；
④a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n+a_n+1，…．
其中一定是等比数列的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：①中利用对数的运算法则以及题设中的等差数列求得

lgan+1

lgan

为常数判断出数列为等比数列；令a_n=n代入②③④中推断出均不是等比数列．

解答：解：①

lgan+1

lgan

=lg（a_n+1-a_n）
∵数列{a_n}为等差数列，
∴a_n+1-a_n为常数
∴

lgan+1

lgan

为常数，即lga₁，lga₂，…，lga_n，…为等比数列
②因为数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…是公差不为零的等差数列，且a_n＞0，
所以2a1，2a2，…，2an，…

2an

2an-1

=2^d是常数，所以是等比数列，正确．
③令a_n=n，a₁a₂，a₂a₃，…，a_na_n+1，…为1×2，2×3，3×4…不是等比数列．
④令a_n=n，a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n+a_n+1，…．为1+2，2+3，3+4不为等比数列，
故等比数列的个数为1
故选C．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．关键是利用等比数列的定义．对于选择题可采用特殊值法，更为便捷．