Question

已知函数f（x）=log_0.5（4-2x），
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=log_0.5（4-2x），所以4-2x＞0，由此求得函数f（x）的定义域．
（2）设?x₁＜x₂＜2，根据f（x₁）-f（x₂）=log0.5

2-x1

2-x2

＜0，可得函数为增函数．

解答：解：（1）∵f（x）=log_0.5（4-2x），∴4-2x＞0，解得：x＜2，
∴函数f（x）的定义域是{x|x＜2}．
（2）函数f（x）在定义域{x|x＜2}上是增函数．
证明：设?x₁＜x₂＜2，有：f（x₁）-f（x₂）=log_0.5（4-2x₁）-log_0.5（4-2x₂）
=log0.5

2-x1

2-x2

，
∵?x₁＜x₂＜2，
∴-x₁＞-x₂＞-2，∴2-x₁＞2-x₂＞0，
∴

2-x1

2-x2

＞1，
∴log0.5

2-x1

2-x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在定义域{x|x＜2}上是增函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．