Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_bn，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明T_n≥1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）对于数列{a_n}，已知S_n=n²，利用递推公式可求当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁=1可求a_n，对于数列{b_n}，是等比数列，设公比为q，及b₁=1，b₄=b₁q³=8，可求q，进而可求b_n
（Ⅱ）由题意可得，cn=abn=2bn-1=2ⁿ-1，结合数列的特点可考虑利用分组求和，结合等差数列及等比数列的求和公式可求．
解答：（Ⅰ）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）2=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1亦满足上式，故an=2n-1，（n∈N^*）．     
数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）．    
（Ⅱ）证明：c_n=a_bn=2b_n-1=2ⁿ-1．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．     
∵T_n-T_n-1=2ⁿ-1＞0，∴T_n＞T_n-1，∴T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
∴T_n≥1．
点评：本题综合考查等比数列与等差数列，涉及数列的性质及数列的求和，求出数列的通项是关键．