题目内容

已知O为坐标原点，A（2，1），P（x，y）满足 $数学公式$ ，则| $数学公式$ |•cos∠AOP的最大值等于 ________．

$\text{[math]}$
分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP转化成 $\text{[math]}$ ，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点M时，从而得到| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP的最大值即可．
解答：

解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ =（x，y），
所以| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP= $\text{[math]}$ ，
令z=2x+y，则y=-2x+z，即z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，
由图形可知，当直线经过可行域中的点M时，z取到最大值，
由 $\text{[math]}$ 得M（5，2），这时z=12，
所以| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故| $\text{[math]}$ |•cos∠AOP的最大值等于 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．