Question

如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是PC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）若MN=BA=2，PA=2

3

，求异面直线PA与MN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）用线面平行的判定定理证明，须先作辅助线证明线线平行
（2）需把异面直线通过作辅助线转化为共面直线，在三角形中求角

解答：（1）证明：取PB的中点F，连接AF、MF
∵AN

∥

.

1

2

BC ， MF

∥

.

1

2

BC
∴AN

∥

.

MF
∴四边形AFMN是平行四边形
∴AF∥MN
又∵MN不在面PAB内，AF在面PAB内
∴MN∥面PAB
（2）解：连接AC、BD交于点O，连接OM、ON，则OM 

∥

.

 

1

2

PA ， ON

∥

.

1

2

AB
则异面直线PA与MN所成的角等于∠OMN或其补角
∵MN=2，ON=1，OM=

3

∴在△OMN中，有余弦定理得：cos∠OMN=

OM2+MN2-ON2

2OM•ON

=

3

2

∴异面直线PA与MN所成的角为

π

6

点评：本题（1）考察线面平行的证明，用线面平行的判定定理，须把线面平行问题转化为线线平行问题；（2）考察异面直线的夹角，须通过辅助线把异面直线转化为共面直线，在三角形中用余弦定理解决，间接考察解三角形问题．属简单题