Question

设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

Answer 1

解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|²－|b|²＝(cos²α＋sin²α)－(＋)＝0，

故a＋b与a－b垂直．

(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得

3|a|²＋2a·b＋|b|²＝|a|²－2a·b＋3|b|²，

所以2(|a|²－|b|²)＋4a·b＝0，

而|a|＝|b|，所以a·b＝0，

则(－)×cosα＋×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，

∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.