Question

已知f ( x )是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，y∈R都成立．如果当x > 0时，f ( x ) < 0．试判断函数f ( x )在区间（－∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论

 

Answer 1

答案：
解析：

任取实数x1，x2，使x1< x2，则  x1－x2 > 0． ∵  f ( x )是奇函数，故 －f ( x1 ) = f (－x1)． 又 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )  对任意x，y∈R都成立， ∴  f ( x2 )－f ( x1 ) = f ( x2 ) + f (－x1 ) = f [ x2 + (－x1) ] = f ( x2－x1 ) < 0 ， 即   f ( x2 ) < f (x1 )    ． ∴  f ( x ) 在 （－∞，+∞）上是减函数．