Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，利用正弦定理求得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，再由sinB=sin（A+C），求得cosA=

1

2

，可得A的值．
（2）利用余弦定理、基本不等式求得 bc≤1，再由S=

1

2

bcsinA求得它的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵acosC+

1

2

c=b，∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．-----（1分）
又sinB=sin（A+C），∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC．-----（3分）
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，∵A是三角形的内角，∴A=

π

3

．--（5分）
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤1．-----（8分）
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，即△ABC面积的最大值为

3

4

．-----（10分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．