Question

已知函数f（x）=(

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2

)|x-1|x∈R．若关于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：f²（x）-（a+1）f（x）+a=0等价于f（x）=1或f（x）=a，函数f（x）=(

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)|x-1|的值域为（0，1]，根据关于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3个不同的实数解，可得f（x）=a有2个不同的实数解，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：f²（x）-（a+1）f（x）+a=0等价于f（x）=1或f（x）=a．
函数f（x）=(

1

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)|x-1|的值域为（0，1]，则
∵关于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0有3个不同的实数解，
∴f（x）=a有2个不同的实数解，
∴0＜a＜1，
∴实数a的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评：本题考查指数函数综合问题，考查方程的根，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．