Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．若△ABC最长的边为1，则最短边的长为（　　）

• A．

  2 5

  5

• B．

  3 5

  5

• C．

  4 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：由cosB的值大于0，得到B为锐角，然后利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，然后利用诱导公式化简tanC，再利用两角和的正切函数公式化简，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，发现C为钝角，即为三角形的最大角，故c=1，再由tanA大于tanB及正切函数为增函数，得到b最短，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，再由c的值，利用正弦定理即可求出b的长，即为最短边的长．

解答：解：由cosB=

3 10

10

＞0，所以B为锐角．
∴tanB=

1 cos2B -1

=

1

3

，又tanA=

1

2

，
tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-1，
由C为三角形的内角，得到∠C=135°，
故c边最长，即c=1，
又tanA＞tanB，故b边最短，
∵sinB=

1-cos2B

=

10

10

，sinC=sin135°=

2

2

，又c=1，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：
b=

csinB

sinC

=

5

5

，即最短边的长为

5

5

．
故选D．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理．要求学生熟练掌握同角三角函数间的基本关系及正弦定理，同时注意角度的范围．