题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=
3
3
．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得
PH
=λ
HQ
(λ＞0)．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x0，y0）．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：PF2=
3-x0
3
；
（3）当点P在椭圆上运动时，试探究是否存在实数λ，使得点Q在同一个定圆上，若存在，求出λ的值及定圆方程；否则，请说明理由．
分析：（1）根据椭圆的两准线间距离为6，离心率e=
3
3
．可以找到关于a，b，c的3个等式，求出a，b，c，进而求出椭圆方程．
（2）利用椭圆的第二定义，可知
PF2
PH
=e=
1
3
．再根据PH=3-x0，就可求出PF2=
3-x0
3
．结论得证．
（3）先假设点P在椭圆上运动时，存在实数λ，使得点Q在同一个定圆上．再根据
PH
=λ
HQ
(λ＞0)可找到P，Q，H点坐标之间的关系，求λ．若能求出，则λ存在，若求不出，则λ不存在．
解答：解：（1）∵椭圆的两准线间距离为6，∴
2c2
a
=6，∵离心率e=
3
3
．∴
c
a
=
3
3
．
又∵a2=b2+c2，得a=
3
，b=
2

∴椭圆方程为
x2
3
+
y2
2
=1
（2）离心率e=
1
3
，右准线方程：x=3
∴
PF2
PH
=e=
1
3
，又∴PF2=
1
3
•(3-x0)=
3-x0
3
．
（3）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），∴y=y0．∵
PH
=λ
HQ
(λ＞0)
∴3-x0=λ（x-3），∴x0=3λ+3-λx
又∵
x02
3
+
y02
2
=1，∴
(3λ+3-λx)2
3
+
y2
2
=1，即
(x-
3λ+3
λ
)2
3
λ2
+
y2
2
=1，
当且仅当
3
λ2
=2，即λ=
6
2
时，
点Q在定圆(x-3-
6
)2+y2=2上．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，做题时要认真分析．
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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