Question

已知全集U=R，函数f（x）=

1

x+2

+lg（3-x）的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a-1}．
（Ⅰ）求?_UA；
（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式可得

x+2＞0 3-x＞0

，由此求得函数的定义域A，从而求得?_UA．
（Ⅱ）若A∪B=A，则B⊆A，当B≠∅时，应有-2≤a＜2a-1≤3，解得a的范围；当B=∅时，应有a≥2a-1，由此解得a的范围．再把以上两个实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

1

x+2

+lg（3-x），∴

x+2＞0 3-x＞0

，解得-2＜x＜3，
故函数的定义域为（-2，3），即A=（-2，3），∴?_UA=（-∞，-2]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）若A∪B=A，则B⊆A，再根据集合B={x|a＜x＜2a-1}，
故当B≠∅时，应有-2≤a＜2a-1≤3，解得1＜a≤2．
当B=∅时，应有a≥2a-1，解得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题主要考查求函数的定义域，集合间的包换关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．