Question

已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]），g（x）=

1

2

x2+x，若g（x）图象在点（-

1

2

，-

3

8

）的切线与f（x）图象在点M处的切线平行，则点M的坐标为

（

π

3

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：由g（x）=

1

2

x2+x，知g′（x）=x+1，故g（x）图象在点（-

1

2

，-

3

8

）的切线的斜率k1=g′(-

1

2

 )=-

1

2

+1=

1

2

．由f（x）=sinx（x∈[0，π]），知f′（x）=cosx，设M（x₀，y₀），由g（x）图象在点（-

1

2

，-

3

8

）的切线与f（x）图象在点M处的切线平行，知f′(x0)=cosx0=

1

2

，由此能求出M点坐标．

解答：解：∵g（x）=

1

2

x2+x，
∴g′（x）=x+1，
∴g（x）图象在点（-

1

2

，-

3

8

）的切线的斜率k1=g′(-

1

2

 )=-

1

2

+1=

1

2

．
∵f（x）=sinx（x∈[0，π]），
∴f′（x）=cosx，
设M（x₀，y₀），
∵g（x）图象在点（-

1

2

，-

3

8

）的切线与f（x）图象在点M处的切线平行，
∴f′(x0)=cosx0=

1

2

，
∵x₀∈[0，π]，
∴x0=

π

3

，y0=sin

π

3

=

3

2

，
∴M（

π

3

，

3

2

）．
故答案为：（

π

3

，

3

2

）．

点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意直线的位置关系的灵活运用．