Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2。
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁<x₂），AB中点为C（x₀，0），求证：g′（x₀）≠0。

Answer 1

解：（1）f′（x）=-2bx，f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，
∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1；
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去），
在[，e]内，当x∈[，1）时，h′（x）＞0，所以h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h′（x）＜0，所以h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是
即1＜m≤e²-2；
（3）g（x）=2lnx-x²-nx，g′（x）=-2x-n，
假设结论成立，则有
①-②，得
∴，
由④得，
∴，即，
即，⑤，
令（0＜t＜1），
则u′（t）=＞0，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，
u（t）＜u（1）=0，
所以⑤式不成立，与假设矛盾，
所以g′（x₀）≠0。