Question

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)．

Answer 1

分析：（1）对数的真数大于0，用穿根法解分式不等式．
（2）由（1）知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
（3）若a、b∈D，先化简f（a）+f（b），再化简f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．

解答：解：（1）由题意得：

1-x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），∴函数是奇函数；
（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+ab-a-b

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．