题目内容

已知函数f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）证明：对任意 $数学公式$ ，恒有 $数学公式$ 成立；
（III）当a=0时，设 $数学公式$ ，证明：对ε∈（0，1），当 $数学公式$ 时，不等式 $数学公式$ 总成立．

（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得 $\text{[math]}$
∴f（x）的单调增区间是 $\text{[math]}$
（II）证明：由（I）知，当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
$\text{[math]}$ 时，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴ $\text{[math]}$
∴对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ 成立；
（III）证明：当a=0时，得f（x）=e^2x-2x
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵ε∈（0，1），∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
由（II）知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 总成立
分析：（I）求导函数，令f′（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；
（II）当x∈（-∞，0）时，h（x）=e^2x-2x是减函数；当x∈[0，+∞）时，h（x）=e^2x-2x是增函数，从而h（x）≥h（0），进而可证对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ 成立；
（III）当a=0时，得f（x）=e^2x-2x，从而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可证 $\text{[math]}$ ，根据当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，可得当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 总成立
点评：本题以函数为载体，考查导数法求函数的单调区间，考查不等式的证明，解题的关键是充分利用函数的单调性，难度较大．