Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若恒成立，求实数b的范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由函数求导得到，，分，， ，四种情况讨论求解.

（2）将恒成立，转化为恒成立，令，用导数法求其最小值即可.

（1）∵，定义域为.

∴，.

令，则，.

①当时，令，则；令，则.

∴在上单调递增；在上单调递减.

②当时，令，则；令，则或.

∴在，上单调递减；在上单调递增.

③当时，令，则在上单调递减.

④当时，令，则；令，则或.

∴在，上单调递减；在上单调递增.

综上所述，①当时，在上单调递增；在上单调递减.

②当时，在，上单调递减；在上单调递增.

③当时，在上单调递减.

④当时， 在，上单调递减；在上单调递增.

（2）∵，且当时，恒成立.

∴恒成立.

令，即.

∵，

∴在上单调递减；在上单调递增，

∴.

∴.