Question

已知数列{a_n}的通项an=

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+3

，为了使不等式an＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t对任意n∈N^*恒成立的充要条件．

Answer 1

分析：根据数列的通项公式表是出a_n+1，进而求得a_n+1-a_n＞0进而可推断出a_n＞a_n-1＞a_n-2＞＞a₂＞a₁，欲使得题设中的不等式对任意n∈N^*恒成立，只须{a_n}的最小项a1＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t即可，进而根据对数函数的性质求得t的范围．

解答：解：∵an+1-an=

1

2n+4

+

1

2n+5

-

1

n+3

=(

1

2n+4

-

1

2n+6

)+(

1

2n+5

-

1

2n+6

)＞0，
则a_n＞a_n-1＞a_n-2＞＞a₂＞a₁，
欲使得题设中的不等式对任意n∈N^*恒成立，
只须{a_n}的最小项a1＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t即可，
又因为a1=

1

4

+

1

5

=

9

20

即只须t-1≠1且lo

g

2 t

(t-1)-

9

20

lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

＜0，
解得-1＜log_t（t-1）＜t（t＞1），
即0＜

1

t

＜t-1＜t(t≠2)，
解得实数t应满足的关系为t＞

1+ 5

2

且t≠2．

点评：本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．