Question

已知函数f(x)=(x²-3x+3)e^x定义域为［-2,t］(t＞-2),设f(-2)=m,f(t)=n.

(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在［-2,t］上为单调函数;

(2)求证:n＞m．

Answer 1

 (1)解：因为f′(x)=(x²-3x+3)·e^x+(2x-3)·e^x=x(x-1)·e^x．         2分

由f′(x)>0Þx>1或x＜0;  由f′(x)<0Þ0<x<1

所以f(x)在(-∞,0)，(1,+∞)上递增，在(0,1)上递减．            4分

欲使f(x)在［-2,t］上为单调函数,则-2＜t≤0．                 6分

(2)证明:因为f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,

所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=e.                        8分

又∵f(-2)=<e，所以f(x)仅在x=-2处取得［-2,t］上的最小值f(-2).      10分

从而当t＞-2时,f(-2)＜f(t),即m＜n.                        12分