Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证数列{a_n+3}为等比数列；
（Ⅲ）令b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用递推式，分别令n=2，3，4即可；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），根据等比数列的定义可作出证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出a_n，进而得到b_n，分别利用错位相减法及分组求和法可求得结果；
解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=2a_n+3得，a₂=2a₁+3=7，a₃=2a₂+3=17，a₄=2a₃+3=37；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=5，知，
所以数列{a_n+3}是以5为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，故；
所以，
令+5•n•2^n-1①，
+…+5•n•2ⁿ②，
①-②得，-T_n=5（1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ）=-5n•2ⁿ=5（1-n）•2ⁿ-5，
所以T_n=5（n-1）•2ⁿ+5，
利用分组求和法，可得；
点评：本题考查数列递推式、数列求和、等比数列的定义等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．