Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）解不等式（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件，分别令n=1和n=2，能够得到a₂，a₃的值，再由2a_n+1=S_n+2和2a_n=S_n-1+2两式相减，得到2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．由此能够导出{a_n}为等比数列，从而得到数列{a_n}的通项公式．
（2），由n=1，2，3，4，5得到它的前5项为：3，2，，，．{a_n}的前5项为：1，，，，，然后分别进行讨论，能够求出不等式（n∈N^*）的解集．
解答：解：（1）∵2a₂=S₁+2=a₁+2=3，∴．（1分）
∵，∴．（2分）
∵2a_n+1=S_n+2，∴2a_n=S_n-1+2（n≥2），
两式相减，得2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1．∴2a_n+1-2a_n=a_n．则（n≥2）（4分）
∵，∴（n∈N^*）（5分）
∵a₁=1≠0，∴{a_n}为等比数列，．（6分）
（2），
∴数列是首项为3，公比为等比数列．（7分）
数列的前5项为：3，2，，，．{a_n}的前5项为：1，，，，．
∴n=1，2，3时，成立；（10分）
而n=4时，；（11分）
∵n≥5时，＜1，a_n＞1，∴．（13分）
∴不等式（n∈N^*）的解集为{1，2，3}．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列递推式的合理运用．