题目内容

已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）， $数学公式$ ，其中x∈（0，e]
（1）若a=1，求f（x）的极小值；
（2）在（1）条件下证明 $数学公式$ ；
（3）是否存在实数a＞0，使f（x）的最小值为3，如果存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由．

解：（1）∵f（x）=ax-lnx，f′（x）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．…（3分）
∴f（x）的极小值为f（1）=1．…（4分）
（2）∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e）上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1．…（6分）
令h（x）=g（x）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，h′（x）= $\text{[math]}$ ，
当0＜x≤e时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，e]上单调递增，
∴h（x）≤h（e）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，…（9分）
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+ $\text{[math]}$ ．…（10分）
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，f′（x）=a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
①当0＜ $\text{[math]}$ ＜e时，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，e]上单调递增．
f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=1+lna=3，a=e²，满足条件．…（13分）
②当 $\text{[math]}$ ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a= $\text{[math]}$ （舍去），
所以，此时f（x）无最小值．…（15分）
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值为3．…（16分）
分析：（1）先求导函数，由导数小于0得单调减区间，导数大于0的增区间，从而确定函数的极值；
（2）确定f（x）在（0，e）上的最小值为1，h（x）=g（x）+ $\text{[math]}$ 在（0，e]上的最大值为1，从而得证；
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，由于f′（x）=a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故要进行分类讨论：
①0＜ $\text{[math]}$ ＜e；② $\text{[math]}$ ≥e，从而得解．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，同时考查了存在性问题．