Question

（文科做）数列{a_n}中，a₃=1，S_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（I）求a₁，a₂；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

解：（I）∵a₁=a₂，a₁+a₂=a₃，
∴2a₁=a₃=1，
∴．…2分
（II）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，
∴，…6分
∴，公比为2的等比数列．
∴．（n∈N^*）．…9分
（III）∵b_n=log₂S_n，S_n=2^n-2，
∴b_n=n-2，b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∴=．…11分
∴．…14分
分析：（I）通过已知的关系式直接求a₁，a₂；
（II）利用a_n+1=S_n+1-S_n，与已知的关系式，推出数列{S_n}是等比数列，即可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）设b_n=log₂S_n，求出b_n的表达式，求出数列{c_n}的通项公式，通过裂项法求数列{c_n}的前n项和．
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数列通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．