Question

设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

Answer 1

分析：（I）先讨论去绝对值，写成分段函数，然后分别当x≥2时与当x＜2时的单调区间；
（II）讨论a的正负，利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较，进行分别判定函数y=f（x）的零点个数．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，①当x≥2时，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x₀=0；
（2）当a＞0时，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，
故当x≥a时，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上单调递减，在(-∞，

a

2

)上单调递增；
∴f（x）的极大值为f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，
1°当f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x²-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
2°当f(

a

2

)=0，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x₁=2和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；
3°当f(

a

2

)＞0，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函数y=f（x）的零点为x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为

a+ a2+4a

2

；
当a=4时，有两个零点2和2+2

2

；
当a＞4时，函数有三个零点

a± a2-4a

2

和

a+ a2+4a

2

．

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数零点问题，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．