Question

已知函数f（x）=

log2( 1 x+1 )x≥ 0 ( 1 2 )x-1         x＜0

，若f（3-2a²）＞f（a），则实数a的取值范围是

a＜-

3

2

或a＞1

．

Answer 1

分析：当x≥0时，

1

x+1

是减函数，所以y=log₂（

1

x+1

）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log₂（

1

0+1

）=log₂1=0．
当x＜0时，y=（

1

2

）^2x-1是减函数．此时的最小值（

1

2

）⁰-1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3-2a²）＞f（a），
所以3-2a²＜a，2a²+a-3＞0，解得a＞1或a＜-

3

2

．

解答：解：当x≥0时，

1

x+1

是减函数，
所以y=log₂（

1

x+1

）也是减函数．
此时的最大值是f（0）=log₂（

1

0+1

）=log₂1=0．
当x＜0时，y=（

1

2

）^2x-1是减函数．
此时的最小值（

1

2

）⁰-1=0．
所以函数在R上是减函数．
因为f（3-2a²）＞f（a），
所以3-2a²＜a，2a²+a-3＞0，
解得a＞1或a＜-

3

2

．
故答案为：a＞1或a＜-

3

2

．

点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．