题目内容

若f(x)=x2-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

思路分析：本题已知函数的单调性，(1,4)和(6,+∞)应为f(x)=x2-ax2+(a-1)x+1的单调区间的子集.

解：函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.

令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1,当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a-1＞1即a＞2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.

依题意,当x∈(1,4)时,f′(x)＜0；当x∈(6,+∞)时,f′(x)＞0.

所以4≤a-1≤6.解得5≤a≤7.

所以a的取值范围是［5,7］.

练习册系列答案
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对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若f(x)=
x
2
-
1
x
，g(x)=lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(
1
m
，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-
1
2
x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）判断函数f（x）=x2-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设M＞0，N＞0，若f（x），g（x）在D上分别以M，N为上界．求证：函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界；
（3）若f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x在[0．+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
若f(x)=
x2，(x≥0)
-x，(x＜0)
，则f[f（-2）]=（　　）
已知函数f(x)=
x2+(a+1)x+a
x
(x＞0，a是大于零的常数)．
（1）求证：b≤(
a
+1)2是f（x）≥b的充要条件；
（2）若x∈（0，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．
若f(x)=
x2+a，x＜0
2x，x≥0
，且f（1）=f（-2），则a=
 
．

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