题目内容

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+ $数学公式$ ）sin（x- $数学公式$ ）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，求f（x）的取值范围．

解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+ $\text{[math]}$ ）sin（x- $\text{[math]}$ ）=sin²x+sinxcosx+cos2x
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
cos2α= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$
由tanα=2得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
从而 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为 $\text{[math]}$ ，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化简函数为： $\text{[math]}$ ，由x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，求出2x+ $\text{[math]}$ 的范围，然后求f（x）的取值范围．
点评：三角函数的化简，包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握．熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin（ωx+φ）性质．