Question

如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O,A₁C₁∩B₁D₁=O₁,E是O₁A的中点.

（1）求二面角O₁—BC—D的大小；

（2）求点E到平面O₁BC的距离.

Answer 1

解法1：（1）过O作OF⊥BC于F，连结O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F.

∴∠O₁FO是二面角O₁—BC—D的平面角.

∵OB=2，∠OBF=60°,

∴OF=.

在Rt△O₁OF中，tanO₁FO=,

∴∠O₁FO=60°,即二面角O₁—BC—D为60°.

(2)在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，

∴OE∥O₁C.

∴OE∥面O₁BC.

∵BC⊥面O₁OF，面O₁BC⊥面O₁OF,交线为O₁F，过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距离.点E到面O₁BC的距离等于OH，sin60°=

∴OH=.

∴点E到面O₁BC的距离等于.

解法2：(1)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA,OO₁⊥OB.

又OA⊥OB,建立如下图所示的空间直角坐标系.

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=，OB=2.

则A（，0，0），B（0，2，0），C（，0，0），O₁（0,0,3）.

∴=(0,2,-3),=(,0,-3).

设平面O₁BC的法向量为n₁=(x,y,z),则n₁⊥,n₁⊥,

∴

取z=2,则x=,y=3.

∴n₁=(,3,2),而平面AC的法向量为n₂=(0,0,3).

∴cos〈n₁,n₂〉=.

设O₁—BC—D的平面角为α,

∴cosα=.

∴α=60°.

故二面角O₁—BC—D为60°.

(2)设点E到平面O₁BC的距离为d,

∵E是O₁A的中点，

∴=（，0，）.

则d=.

∴点E到面O₁BC的距离等于.