Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）
（Ⅱ）2S_n=a_n²+a_n，①2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，（6分）
因为a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1，所以a_n=n（n∈N^*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵，
∴，
．
两式相减得，
=1-．
所以．（13分）
分析：（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由，知，．由此能够求出数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，注意数列通项公式的求法和错位相减法的合理运用．