Question

已知数列{a_n}满足：a_n=

n(n=2k-1) ak(n=2k)

，其中k∈N．记{a_n}的前n项和为S_n定义数列{b_n}满足：b_n=S_2ⁿ．
（I）求S₁₀的值；
（Ⅱ）证明：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜1（n∈N）．

Answer 1

分析：（I）因为a_n=

n(n=2k-1) ak(n=2k)

，写出数列{a_n}前10项得到S₁₀=36．
（II）因为b_n=S_2ⁿ=（a₂+a₄+…+a2n）+（a₁+a₃+…+a2n-1）利用等差数列的前n项和公式化简为b_n=b_n-1+4^n-1，利用逐差相加法求出bn=

4n+2

3

得到

1

bn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，通过放缩法得到

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜1（n∈N）．

解答：解：（I）因为a_n=

n(n=2k-1) ak(n=2k)

，
所以前10项分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5
所以S₁₀=36
（II）b_n=S_2ⁿ=（a₂+a₄+…+a2n）+（a₁+a₃+…+a2n-1）
=（a₁+a₂+a₃+…+a2n-1）+4^n-1
即b_n=b_n-1+4^n-1
即b_n-b_n-1=4^n-1
∴b₂-b₁=4
b₃-b₂=4²
…
b_n-b_n-1=4^n-1
相加得bn-b1=

4n-4

3

∴bn=

4n+2

3

1

bn

=

3

4n+2

＜

3

4n

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

3

4

+

3

42

+…+

3

4n

= 1-(

1

4

)n ＜1

点评：求数列的前n项和时，应该先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法．