Question

（本小题满分12分）已知函数（为常数）。
（Ⅰ）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（Ⅱ）设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，，都有
成立，求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）因为，所以，因此，
所以函数的图象在点（）处的切线方程为，               ……1分
由得，
由，得.                                    ……3分
（Ⅱ）因为，
所以，
由题意知在上有解，
因为，设，因为，
则只要，解得，
所以b的取值范围是.                                              ……6分
（Ⅲ）不妨设，
因为函数在区间[1,2]上是增函数，所以，
函数图象的对称轴为，且。
（i）当时，函数在区间[1,2]上是减函数，所以，
所以等价于
，
即，
等价于在区间[1,2]上是增函数，
等价于在区间[1,2]上恒成立，
等价于在区间[1,2]上恒成立，
所以，又，
所以.                                                             ……8分
（ii）当时，函数在区间[1, b]上是减函数，在上为增函数。
① 当时，
等价于，
等价于在区间[1,b]上是增函数，
等价于在区间[1,b]上恒成立，
等价于在区间[1,b]上恒成立，
所以，又，所以
②当时，
等价于，
等价于在区间[b,2]上是增函数，
等价于在区间[b,2]上恒成立，
等价于在区间[b,2]上恒成立，
所以，故，
③当时，
由图像的对称性知，
只要对于①②同时成立，
那么对于③，则存在，
使 =恒成立；
或存在，
使=恒成立，
因此，
综上，b的取值范围是.                                        ……12分
点评：导数是研究函数的一个有力的工具，研究函数时，不要忘记考查函数的定义域.另外恒成立问题一般转化成求最值问题解决.